Système à 2 substrats : fixation au hasard (hypothèse du quasi - équilibre) / démonstration des équations
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Voir le cours sur les cinétiques enzymatiques à 2 substrats.

Le mécanisme réactionnel s'écrit :

cinetique enzymatique acyl enzyme kinetics two multiple substrate sequentiel ping pong ordonne hasard sequential ordered random binding bibi Cleland King Altman graphe primaire secondaire primary secondary echange isotope isotopic exchange acylenzyme biochimej

Selon l'hypothèse du quasi-équilibre l'équation de la vitesse de formation des produits est :  vi = kcat  .  [EAB] (relation 1)

La loi de conservation des espèces moléculaires appliquée à l'enzyme, au substrat A et au substrat B s'écrit :

[E0]   =   [E] + [EA] + [EB] + [EAB] (relation 2)

[A0]  =  [A] + [EA] + [EAB]*
Si : [A0] >> [E0] => [A0] >> [EA] et [A0] >> [EAB]
alors : [A0]  =  [A]

[B0]  =  [B] + [EB] + [EAB]*
Si : [B0] >> [E0] => [B0] >> [EB] et [B0] >> [EAB]
alors : [B0]  =  [B]

*En condition de vitesse initiale [P] et [Q] sont négligeables.


Il faut exprimer les concentrations de EA et de EB en fonction de celle du complexe productif EAB :
                                               αKB
Pour l'équilibre : EA + B <======> EAB
                    [EA] [B0]                                                          αKB
αKB   =  ( ----------------- )         =>        [EA]   = [EAB] . ( ---------- ) (rel. 3a)
                      [EAB]                                                              [B0]
                                               αKA
Pour l'équilibre : EB + A <======> EAB
                     [EB] [A0]                                                        αKA
αKA   =  ( ----------------- )         =>        [EB]  = [EAB] . ( ---------- ) (rel. 3b)
                       [EAB]                                                            [A0]
Pour exprimer la concentration de E en fonction de celle du complexe productif EAB, il y a deux possibilités :
                                                              KA
Soit à partir de l'équilibre :  E + A <=====> EA
                  [E] [A0]                                                       KA
KA   =  ( --------------- )         =>        [E]   =   [EA] . ( --------- )
                     [EA]                                                         [A0]
Compte - tenu de la relation 3a :                                  αKB          KA
[E]   =   [EAB] . ( -----------  .  ---------- )  (rel. 4)
                                [B0]                [A0]
                                                               KB
Soit à partir de l'équilibre :  E + B <=====> EB
                  [E] [B0]                                                       KB
KB   =  ( --------------- )         =>        [E]   =   [EB] . ( --------- )
                     [EB]                                                         [B0]
Compte - tenu de la relation 3b :                                   αKA           KB
[E]   =   [EAB] . ( -------------  .  ------------ )  (rel. 4)
                                  [A0]              [B0]
Bien évidemment, on obtient la même expression pour [E], que l'on considère l'un ou l'autre de ces deux équilibres de dissociation.

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En tenant compte des relations 3a, 3b et 4,
la relation 2 devient  :

                                    α KA KB                         αKB                  αKA
 [E0]  =   [EAB] .   [( ---------------- )   +   ( ---------- )   +   ( ----------- )  +  1]
                                     [A0][B0]                      [B0]                   [A0]
soit :                                                                     [E0]
[EAB]    =    ----------------------------------------------------------------------------
                                  αKAKB                           αKB                 αKA
                          [( ----------------- )   +   ( ---------- )   +   ( ---------- )  +  1]
                                  [A0][B0]                      [B0]                   [A0]
En multipliant les deux membres de l'égalité par  kcat.
Et puisque :   Vmax  =   kcat   .   [E0]
                                                              Vmax
vi    =      ----------------------------------------------------------------------------
                            αKAKB                           αKB                  αKA
                    [( ----------------- )   +   ( ---------- )   +   ( ---------- )  +  1]
                           [A0][B0]                       [B0]                  [A0]
En multipliant le numérateur et le dénominateur
du membre de droite par  : [A0][B0]
                                                                      [A0][B0]
vi    =      Vmax   .   -----------------------------------------------------------------------
                                     [αKAKB    +    a KB [A0]    +  αKA[B0]    +   1]
En divisant par [A0], on obtient une expression
de la vitesse initiale en fonction de la concentration
du substrat A pour une concentration fixe de B.
                                                                                [A0]
vi      =      Vmax    .    ----------------------------------------------------------------------
                                                              KB                                         αKB
                                       [αKA . ( 1 + ---------- )]     +   [[A0] . ( 1 + ---------- )
                                                              [B0]                                        [B0]
En divisant par [B0], on obtient une expression
de la vitesse initiale en fonction de la concentration
du substrat B pour une concentration fixe de A.
                                                                                [B0]
vi      =      Vmax    .    ----------------------------------------------------------------------
                                                                KA                                       αKA
                                       [αKB . ( 1 + ---------- )]     +   [[B0] . ( 1 + ---------- )
                                                             [A0]                                        [A0]

1. L'équation de chaque courbe de saturation
en fonction de la concentration du substrat A
pour une concentration fixe de B est :
                                                      [A0]
 vi      =      VMapp      .    ---------------------------
                                            KAapp    +   [A0
L'équation de chaque courbe de saturation
en fonction de la concentration du substrat B
pour une concentration fixe de A est :
                                                      [B0]
 vi      =      VMapp      .    ---------------------------
                                            KBapp   +   [B0

2. Pour chaque concentration de A et de B,

la vitesse maximale apparente vaut :

                                      VM                                VM
VMapp      =      ----------------------    =     ----------------------
                                      αKA                              αKB
                           ( 1 + ---------- )              ( 1 + ---------- )
                                      [A0]                               [B0]
Et à concentration saturante en A et B : VMapp      ---->      VM

3. Pour chaque concentration de B,
la constante de Michaelis apparente pour le substrat A vaut :

                                                      KB
                                           ( 1 + --------- )
                                                      [B0]
KAapp      =      αKA  .  ----------------------- 
                                                    αKB
                                          ( 1 + ---------- )
                                                     [B0]
Et à concentration saturante en A et B : KAapp      --->      αKA     =      constante de Michaelis pour le substrat A

4. Pour chaque concentration de A,
la constante de Michaelis apparente pour le substrat B vaut :

                                                      KA
                                           ( 1 + --------- )
                                                      [A0]
KBapp      =      αKB  .  ----------------------- 
                                                    αKA
                                          ( 1 + ---------- )
                                                     [A0]

Et à concentration saturante en A et B :

KBapp      --->      αKB     =      constante de Michaelis pour le substrat B

 

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