Système à 2 substrats : fixation au hasard (hypothèse du quasi - équilibre) / démonstration des équations
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Voir le cours sur les cinétiques enzymatiques à 2 substrats.

Le mécanisme réactionnel s'écrit:          E    +    A
         +
         B

KA
<====>

           EA
            +
            B
KBcinetique enzymatique kinetics two substrate ping pong ordonne hasard random binding biochimej   αKBcinetique enzymatique kinetics two substrate ping pong ordonne hasard random binding biochimej

       

EB    +    A

αKA
<====>

         

EAB

kcat
-------->

 

E + P + Q

Selon l'hypothèse du quasi-équilibre l'équation de la vitesse de formation des produits est :  vi = kcat  .  [EAB] (rel. 1)

La loi de conservation des espèces moléculaires appliquée : 
  • à l'enzyme
  • au substrat A
  • au substrat B
[E0]   =   [E] + [EA] + [EB] + [EAB] (rel. 2)
[A0]  =  [A] + [EA] + [EAB]*
Si : [A0] >> [E0] => [A0] >> [EA] et [A0] >> [EAB]
donc : [A0]  =  [A]
[B0]  =  [B] + [EB] + [EAB]*
Si : [B0] >> [E0] => [B0] >> [EB] et [B0] >> [EAB]
donc : [B0]  =  [B]
*En condition de vitesse initiale [P] et [Q] sont négligeables.

Il faut exprimer les concentrations de EA et de EB en fonction de celle du complexe productif EAB :
                                               αKB
Pour l'équilibre : EA + B <======> EAB
                    [EA] [B0]                                                          αKB
αKB   =  ( ----------------- )         =>        [EA]   = [EAB] . ( ---------- ) (rel. 3a)
                      [EAB]                                                              [B0]
                                               αKA
Pour l'équilibre : EB + A <======> EAB
                     [EB] [A0]                                                        αKA
αKA   =  ( ----------------- )         =>        [EB]  = [EAB] . ( ---------- ) (rel. 3b)
                       [EAB]                                                            [A0]
Pour exprimer la concentration de E en fonction de celle du complexe productif EAB, il y a deux possibilités :
                                                              KA
Soit à partir de l'équilibre :  E + A <=====> EA
                  [E] [A0]                                                       KA
KA   =  ( --------------- )         =>        [E]   =   [EA] . ( --------- )
                     [EA]                                                         [A0]
Compte - tenu de la relation 3a :                                  αKB          KA
[E]   =   [EAB] . ( -----------  .  ---------- )  (rel. 4)
                                [B0]                [A0]
                                                               KB
Soit à partir de l'équilibre :  E + B <=====> EB
                  [E] [B0]                                                       KB
KB   =  ( --------------- )         =>        [E]   =   [EB] . ( --------- )
                     [EB]                                                         [B0]
Compte - tenu de la relation 3b :                                   αKA           KB
[E]   =   [EAB] . ( -------------  .  ------------ )  (rel. 4)
                                  [A0]              [B0]
Bien évidemment, on obtient la même expression pour [E], que l'on considère l'un ou l'autre de ces deux équilibres de dissociation.

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En tenant compte des relations 3a, 3b et 4,
la relation 2 devient  :

                                    α KA KB                         αKB                  αKA
 [E0]  =   [EAB] .   [( ---------------- )   +   ( ---------- )   +   ( ----------- )  +  1]
                                     [A0][B0]                      [B0]                   [A0]
soit :                                                                     [E0]
[EAB]    =    ----------------------------------------------------------------------------
                                  αKAKB                           αKB                 αKA
                          [( ----------------- )   +   ( ---------- )   +   ( ---------- )  +  1]
                                  [A0][B0]                      [B0]                   [A0]

En multipliant les deux membres de l'égalité par  kcat.
Et puisque :   Vmax  =   kcat   .   [E0]
                                                              Vmax
vi    =      ----------------------------------------------------------------------------
                            αKAKB                           αKB                  αKA
                    [( ----------------- )   +   ( ---------- )   +   ( ---------- )  +  1]
                           [A0][B0]                       [B0]                  [A0]
En multipliant le numérateur et le dénominateur
du membre de droite par  : [A0][B0]
                                                                      [A0][B0]
vi    =      Vmax   .   -----------------------------------------------------------------------
                                     [αKAKB    +    a KB [A0]    +  αKA[B0]    +   1]
En divisant par [A0], on obtient une expression
de la vitesse initiale en fonction de la concentration
du substrat A pour une concentration fixe de B.
                                                                                [A0]
vi      =      Vmax    .    ----------------------------------------------------------------------
                                                              KB                                         αKB
                                       [αKA . ( 1 + ---------- )]     +   [[A0] . ( 1 + ---------- )
                                                              [B0]                                        [B0]
En divisant par [B0], on obtient une expression
de la vitesse initiale en fonction de la concentration
du substrat B pour une concentration fixe de A.
                                                                                [B0]
vi      =      Vmax    .    ----------------------------------------------------------------------
                                                                KA                                       αKA
                                       [αKB . ( 1 + ---------- )]     +   [[B0] . ( 1 + ---------- )
                                                             [A0]                                        [A0]

1. L'équation de chaque courbe de saturation
en fonction de la concentration du substrat A
pour une concentration fixe de B est :
                                                      [A0]
 vi      =      VMapp      .    ---------------------------
                                            KAapp    +   [A0
L'équation de chaque courbe de saturation
en fonction de la concentration du substrat B
pour une concentration fixe de A est :
                                                      [B0]
 vi      =      VMapp      .    ---------------------------
                                            KBapp   +   [B0

2. Pour chaque concentration de A et de B,

la vitesse maximale apparente vaut :

                                      VM                                VM
VMapp      =      ----------------------    =     ----------------------
                                      αKA                              αKB
                           ( 1 + ---------- )              ( 1 + ---------- )
                                      [A0]                               [B0]
Et à concentration saturante en A et B : VMapp      ---->      VM

3. Pour chaque concentration de B,
la constante de Michaelis apparente pour le substrat A vaut :

                                                      KB
                                           ( 1 + --------- )
                                                      [B0]
KAapp      =      αKA  .  ----------------------- 
                                                    αKB
                                          ( 1 + ---------- )
                                                     [B0]
Et à concentration saturante en A et B : KAapp      --->      αKA     =      constante de Michaelis pour le substrat A

4. Pour chaque concentration de A,
la constante de Michaelis apparente pour le substrat B vaut :

                                                      KA
                                           ( 1 + --------- )
                                                      [A0]
KBapp      =      αKB  .  ----------------------- 
                                                    αKA
                                          ( 1 + ---------- )
                                                     [A0]

Et à concentration saturante en A et B :

KBapp      --->      αKB     =      constante de Michaelis pour le substrat B

 

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